《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求

1.函数概念与性质

函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)

几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)

2.极限

极限存在性与左右极限之间的关系

夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限

3.连续

函数连续(左、右连续)与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)

 

二、题型与解法

A.极限的求法

1)用定义求

2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)

3)变量替换法

4)两个重要极限法

5)用夹逼定理和单调有界定理求

6)等价无穷小量替换法

7)洛必达法则与Taylor级数法

8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)

1.等价小量与洛必达

2.已知

解:

  洛必达

3.  重要极限

4.已知ab为正常数,

解:令

变量替换

5.

解:令

变量替换

6.连续,,求 

洛必达与微积分性质

7.已知x=0连续,求a

解:令   连续性的概念

 

三、补充习题(作业)

1. 洛必达

2.  洛必达或Taylor

3.   洛必达与微积分性质

 

 

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求

1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)

会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理

理解RollLagrangeCauchyTaylor定理

会用定理证明相关问题

3.应用

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图

会计算曲率(半径)

 

二、题型与解法

A.导数微分的计算

基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.决定,求

2.决定,求

解:两边微分得x=0,将x=0代入等式得y=1

3.决定,则 

B.曲线切法线问题

4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

解:

5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6f(6))处的切线方程。

解:需求,等式取x->0的极限有:f(1)=0

C.导数应用问题

6.已知

,求点的性质。

解:令,故为极小值点。

7.,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解:定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。

解:

D.幂级数展开问题

9.

或:

10.

解:

= 

E.不等式的证明

11.

证:1)令

      

    2)令

F.中值定理问题

12.设函数具有三阶连续导数,且

,求证:在(-11)上存在一点

证:

其中

x=1x=-1代入有

两式相减:

13.,求证: 

证:

    (关键:构造函数)

 

三、补充习题(作业)

1.

2.曲线

3.

4.证明x>0

 证:令

    

    

 

 

第三讲 不定积分与定积分

一、理论要求

1.不定积分

掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系)

会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部)

2.定积分

理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法

会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题(长、面、体)

会用定积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值

 

二、题型与解法

A.积分计算

1.

2.

3.,求

解:

4.

B.积分性质

5.连续,,,求并讨论的连续性。

解:

   

6.

 

C.积分的应用

7.[01]连续,在(01)上,且,又x=1,y=0所围面积S=2。求,且a=?Sx轴旋转体积最小。

解:

  

8.曲线,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。

解:切线x轴旋转的表面积为

    曲线x轴旋转的表面积为

    总表面积为

 

三、补充习题(作业)

1.

2.

3.

 

 

第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求

1.向量代数

理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模)

了解两个向量平行、垂直的条件

向量计算的几何意义与坐标表示

2.多元函数微分

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质

理解偏导数、全微分概念

能熟练求偏导数、全微分

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

3.多元微分应用

理解多元函数极值的求法,会用Lagrange乘数法求极值

4.空间解析几何

掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法

会求平面、直线方程与点线距离、点面距离

 

二、题型与解法

A.求偏导、全微分

1.有二阶连续偏导,满足,求

解:

2.

3.,求

B.空间几何问题

4.上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

解:

5.曲面在点处的法线方程。

C.极值问题

6.是由确定的函数,求的极值点与极值。

 

三、补充习题(作业)

1.

2.

3. 

第五讲 多元函数的积分

一、理论要求

1.重积分

熟悉二、三重积分的计算方法(直角、极、柱、球)

会用重积分解决简单几何物理问题(体积、曲面面积、重心、转动惯量)

2.曲线积分

理解两类曲线积分的概念、性质、关系,掌握两类曲线积分的计算方法

熟悉Green公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分

理解两类曲面积分的概念(质量、通量)、关系

熟悉GaussStokes公式,会计算两类曲面积分

 

二、题型与解法

A.重积分计算

1.为平面曲线z轴旋转一周与z=8的围域。

解:

2.围域。(

3.

  (49/20)

B.曲线、曲面积分

4.

 

解:令

   

5.,

解:取包含(0,0)的正向

   

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S

 ,且x>0有连续一阶导数,,

解:

  

 

 

第六讲 常微分方程

一、理论要求

1.一阶方程

熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法

2.高阶方程

会求

3.二阶线性常系数

(齐次)

(非齐次)

(非齐次)

 

二、题型与解法

A.微分方程求解

1.通解。(

2.利用代换化简并求通解。(

3.是上凸连续曲线,处曲率为,且过处切线方程为y=x+1,求及其极值。

解:

 

三、补充习题(作业)

1.已知函数在任意点处的增量(

2.的通解。(

3.的通解。(

4.的特解。(

 

 

第七讲 无穷级数

一、理论要求

1.收敛性判别

级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件

正项级数的比较、比值、根式判别法

交错级数判别法

2.幂级数

幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质(和函数连续、逐项微积分)

TaylorMaclaulin展开

3.Fourier级数

了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理

会求Fourier级数与正余弦级数

 

第八讲 线性代数

一、理论要求

1.行列式

会用按行(列)展开计算行列式

2.矩阵

几种矩阵(单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、伴随)

矩阵加减、数乘、乘法、转置,方阵的幂、方阵乘积的行列式

矩阵可逆的充要条件,会用伴随矩阵求逆

矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价

用初等变换求矩阵的秩与逆

理解并会计算矩阵的特征值与特征向量

理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件

掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

3.向量

理解n维向量、向量的线性组合与线性表示

掌握线性相关、线性无关的判别

理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩

了解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特方法

了解规范正交基、正交矩阵的概念与性质

4.线性方程组

理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件

理解齐次、非齐次线性方程组的基础解系及通解

掌握用初等行变换求解线性方程组的方法